Historia y Economía

Tema 2.1 Ecuación del plano.
A x + B y + C z + D = 0
Ejemplo 9: x + y + z + 1 = 0
Para hallar los interceptos y de paso graficar un plano se realiza lo siguiente:
Eje x: y = z = 0 x + 1 = 0, x = -1 (-1, 0, 0).
Eje y: x = z = 0 y + 1 = 0, y = -1 (0, -1, 0).
Eje z: x = y = 0 z + 1 = 0, z = -1 (0, 0, -1).
El gráfico (Figura 1) es la representación del plano anterior.
Figura 1
Trazas:
Con respecto a: x y, z = 0 {x + y + 1 = 0
{z = 0
Con respecto a: y z, x = 0 {y + z + 1 = 0
{x = 0
Con respecto a: x z, y = 0 {x + z + 1 = 0
{y = 0
Tipos de planos:

A = 0; B, C ≠ 0; y + z = 0.
B = 0; A, C ≠ 0; x + z = 0.
C = 0; A, B ≠ 0; x + y = 0.
Paralelismo y planos.
Forma canónica: A x + B y + C z + D = 0
A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0
Si Entonces los planos son paralelos.
Ejemplo 10. x + y + z + 1 = 0
2x + 2y + 2z + 3 = 0 Estos dos planos son paralelos por cumplir las propiedad anterior y solo quiero dar a conocer con este ejemplo es que la distancia que hay dentro los dos planos va a ser igual al modulo de la diferencia entre las elementos D_i de cada plano.
Dos planos son perpendiculares si AA₁ + BB₁ + CC₁ = 0.
Tema 2.2 Ecuación de la recta.
En el espacio es la intersección de dos planos
3x + 4y + z + 1 = 0
2x - y + z + 3 = 0
Forma simétrica de la ecuación de la recta.
La ecuación de la recta se puede determinar con un trabajo algebraico con dos puntos anteriormente dado.
Dado: P₁(x₁, y₁, z₁); P₂(x₂, y₂, z₂).
Esta es la forma simétrica de la recta.
Cuádricas.
La forma general es la siguiente:
Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K =0
Clasificaciones:
Céntricas: Todos los componentes estarán no lineales.
No Céntricas: Cuando al menos uno de los componentes sea lineal.
Céntricas: Mx² + Ny² + Pz² = R.
Radio (R) M, N, P Lugar Geométrico
>0 + Elipsoide. Si (M = N = P) Esfera.
Elipse en el primer optante.

Radio (R) M, N, P Lugar Geométrico
>0 Dos +, uno - Hiperboloide de una hoja.
>0 Dos -, uno + Hiperboloide de dos hojas.
>0 Uno 0, uno +, uno - Cilindro hiperbólico recto.
>0 Uno 0, dos + Cilindro elíptico recto
=0 Dos +, uno – Cono
No céntricas: Mx² + Ny²= Rz.
Radio (R) M, N, P Lugar Geométrico
>0 Mismo signo Paraboloide elíptico.
>0 Signos diferentes Paraboloide hiperbólico.
>0 Uno Cero Cilindro parabólico.
Una cuádrica es simétrica con respecto a los ejes si al sustituir:
(x) por (-x) ;(y) por (-y); (z) por (-z) la ecuación no se altera. Si se sustituyen simultáneamente la ecuación es simétrica con respecto al eje de coordenadas.
Curvas
Las curvas no son más que la intercesión de Cuádricas. Cuando tenemos una cuádrica con el signo de > (<) quiere decir que es por fuera (dentro).
3. Límite y Continuidad.
Idea intuitiva del límite.
Dada una función f(x) y el punto x = a, nos interesa saber donde se acerca x = a a f(x).
Nota 6.
El acercamiento puede ser por la izquierda o por la derecha.

Definición: Se dice que el límite de f(x) es L para (x) cuando tiende a (a)
(x ® a) si para todo e > 0 existe un l > 0 que depende de e tal:
|x - a| < l Þ |f(x) - L| < e
Notación: (Limite de f(x) cuando tiende a (a) igual L).
Limite lateral izquierdo:
Limite lateral derecho:
Nota 11: Los limites laterales pueden o no coincidir (en caso que no coincidan de dice que el limite no existe).
Ejemplo 7: f(x) =



Limite de una función en el infinito:
Limite de f(x) en un valor infinito () se dice que el limite
Si " e > 0 $ H que depende e tal que " x > H Þ |f(x) - L|< e
Ejemplo 8: Calcular Como al sustituir = 0 entonces:
= 1.
Nota 12:; ;
Esto es un convenio para los límites.
Operaciones con límites.
· , k Î Â . El límite de una constante es igual a la constante.
Sea f(x), g(x) funciones y ;
Entonces:
·
·
·
·
·
·
Ejemplo 9:
;

Nota 13:
Cuando el límite de una función sobre otra función cuando tiende a ± ¥ (funciones polinómicas):
Cuando tiende a ¥ : Si el grado del polinomio del numerador es igual al grado del polinomio del denominador el límite es igual a la división de los coeficientes de cada polinomio. Si el grado del numerador es mayor que el del denominador el límite será infinito, viceversa será 0.
Cuando tiende a - ¥ : Si el grado del polinomio del numerador es igual al grado del polinomio del denominador el límite es igual a la división de los coeficientes de cada polinomio. Si el grado del numerador es mayor que el del denominador se realiza el siguiente análisis:
Se analiza la resta de los grados (el grado del numerador – el grado del denominador) y si es un numero impar se pone un signo de – en el resultado (que va a ser infinito) también se analiza la división de los coeficientes y se pone el signo en el resultado.
Viceversa el límite es 0.
Ejemplo 10:


Continuidad:
Se dice que una función es continua en un punto (x = a) si:
· Si esta definida en el punto (x = a) la función.
· Si existe el limite cuando x ® a.
· Si limite es igual a la función evaluada en el punto.
Tema 3.3 Tipos de discontinuidades.
Las funciones que no son continuas se clasifican en funciones discontinuas evitables y no evitables.
Evitables: Son aquellas en que los limites laterales existen son iguales (en este caso se dice que el limite existe) pero incumple la tercera condición.
No evitable: Son aquellas que el límite no existe, estas tienen una nueva clasificación; las de salto finito o primera especie y las de salto infinito o segunda especie.
1^era Especie: Los límites laterales existen pero no son iguales.
2^da Especie: Los límites laterales al menos uno no existe (sea igual a infinito).
Ejemplo 11:
Analizar la continuidad en x = 1.

Primero, la función en el punto esta definida.
Segundo, , .
Como los límites laterales no son iguales se dice que el límite no existe y por tanto la función no es continua.
Algunos tipos de indeterminaciones.
Si y ,
·
·
Si y ,
·
Es decir que siempre que nos encontramos expresiones como las que pondré a continuaciones nos encontramos antes indeterminaciones que no son mas que resultados de los limites anteriores y habrá que aplicar algunos métodos que los presento en breve.
Tipos de indeterminaciones:
; ; ; ; ; ;
Método de Cancelación.
Elimina el factor que me indeterminada la función.
Lo primero que se realiza a la hora de calcular un límite es evaluar en el punto.
Ejemplo 12:
Este límite es de la forma indeterminada .
.Por Método de cancelación.
Tema 3.5 Limites fundamentales.
· Es decir siempre que en algún limite aparezca la división de un factor trigonométrico con uno polinomico se pueden simplificar. Siempre y cuando el límite tiende a 0.
sen(x) --- x
· .Como la tangente es seno sobre coseno sucede lo mismo que en el primero.
tan(x) --- x con (x > 0)
Forma General
· .Si .
Ejemplo 13:
.
Límite fundamental algebraico.
Siempre y cuando y .